Ensino Superior

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Ensino Superior. Cálculo 3. 2. Introdução às Funções de Várias Variáveis. Amintas Paiva Afonso. Cálculo 3. Programa. Introdução à funções de várias variáveis (FVV). Limites e derivadas de FVV. Regra da cadeia e derivada direcional. Integração dupla. Aplicações de integração dupla.
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Ensino SuperiorCálculo 32. Introdução às Funções de Várias VariáveisAmintas Paiva AfonsoCálculo 3Programa
  • Introdução à funções de várias variáveis (FVV).
  • Limites e derivadas de FVV.
  • Regra da cadeia e derivada direcional.
  • Integração dupla.
  • Aplicações de integração dupla.
  • Integração tripla.
  • Aplicações de integração tripla.
  • Mudança de variáveis.
  • Apliacações de mudança de mudança de variáveis.
  • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEISFunções de duas VariáveisSeja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y)  D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função.Assim,D é o domínio da função em R2,f é a funçãof(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).Exemplos de valores de função de 2 variáveis:Ex1: se f(x, y) = x2 + 2y, então f(2, 3) = 22 + 2.3 = 10Ex2: f(x, y) = (3x + y3)1/2, então f(1, 2) = (3.1 + 23)1/2 = 3,32EXEMPLOSV =  r2hF = m.aVolume de um cilindroForça para movimentar uma massa mPressão de um gásDefinições: Função Real de Variável Vetorial Def: fé uma função real se todos os valores que assume são números reais, isto é, se CR. fé uma função de variável vetorial se o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço n-dimensional com n > 1, isto é, se DRn.y= f (x1, x2)imagemargumentosExemplosy= f (x1,x2,…,xn)imagemargumentosFunção CompostaMais de uma Variávelz1x1,y1z2x2,y2fx3,y3z3xi,yizixn,ynznFunção de duas VariáveisZ = f(x, y)ImagemDomínioIdentificar Domínio e Imagem das FunçõesDomínio das funções de duas variáveisO domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D  R2, tal que os valores calculados da função, para todo (x,y)  D resultem em valores finitos e reais para f(x,y).Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2.A condição de existência dessa função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, y)  R2 / y - x ≥ 0}.Ex.3 - Ache o domínio da funçãoIdentificar Domínio e Imagem das FunçõesEx.2 – Ache o domínio da função f(x, y) = x2 / (2x – y),A função é finita quando 2x – y ≠ 0. Assim, domínio D  (x, y) é o conjunto de pontos, tais que, D = {(x, y)  R2 / y ≠ 2x }.A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D = {(x, y)  R2 / 3x - y > 0}.Domínios: Funções Reais de Variável VetorialContradomínios: Funções Reais de Variável VetorialDomínios: Funções Reais de Variável Vetorial=-2zyx1=zx.y 0 (-, 0) U (0, )x.y=zsen(x.y)=+22zxyIdentificar Domínio e Imagem das FunçõesFunção Conj. Domínio Conj. Imagemy > x2 [0, )Plano xy [-1, 1]Plano xy [0, )Função de Três ou mais Variáveis1) Regra ou lei matemática que associa três ou mais variáveis independentes a uma variável dependente. 2) Uma função de três ou mais variáveis não pode ser representada geometricamente.3) x, y, z: variáveis e saída, w variável de chegada.4) Superfícies de nível f(x, y, z) = constanteIdentificar Domínio e Imagem das FunçõesFunção Conj. Domínio Conj. ImagemEspaço inteiro [0, )(x, y, z) = 0 [0, )Semi-espaço, z > 0 (-, )Espaço inteiro [0, )ExemplosDomínio da função 2) Imagem da função zz = f(x,y)(x,y)yRepresentação Geométrica de uma f(x,y)xUma f(x, y) é representada por planos ou superfícies no espaçoRepresentação Geométrica de uma f(x, y)Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é noplano x, y e y = f(x).Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.Exemplos de funções de 2 variáveisEx1: A função é z = f(x, y) = 5A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer :a) x = 0 e y = 0 → z = 6b) x = 0 e z = 0 → y = 2c) y = 0 e z = 0 → x = 3Exemplos de funções de 2 variáveisEx3: A função é z = f(x, y) = x2 + y2Ex4: A função é z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2Gráficos - Definiçãoaltura em relação ao plano1)Gráficos - Definiçãoi-ésima projeção por exemplo,    e      ,2)Gráficos - Definição A expressão só faz sentido nos pontos (x, y) tais que x – y2 > 0 ou seja x > y2. Ainda: f(x, y) = 1  y = (x – y2)1/2  y2 = x – y2  x = 2y2. A seguir representamos o domínio de f e os pontos onde f(x, y) = 1. 3) Encontre o domínio da função dada por encontre também os pontos (x, y) para os quais f(x, y) = 1. Gráficos - Definição . Chama-se gráfico de  ao subconjunto dodefinido por Observação: Como o gráfico é um subconjunto do       e no papelpodemos representar até o    então podemos desenhar o gráfico de funções de no máximo duas variáveis, isto é,      . Gráficos - ExemplosGráficos - ExemplosGráficos - ExemplosGráficos - ExemplosGráficos - ExemplosGráficos - ExemplosExercícios
  • Esboce o gráfico de                  tal que         distância do ponto
  • ao ponto      onde                                .
  • Tente definir uma função             cujo gráfico seja uma
  • “telha eternit”.
  • Esboce o gráfico de               .
  • y = f(x) z = f(x, y)y = 5 z = 5Diferenças entre 2D e 3Dy = 2x + 1 z = 2x + 2y + 1Diferenças entre 2D e 3Dy = x2 + 1 z = x2 + y2 + 1Diferenças entre 2D e 3Dy = 1/x z = 1/(x + y)Diferenças entre 2D e 3DGráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4.Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = (9 - x2 - y2)0,5, com x e y variando de – 4 a 4.Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = x + 2y - 1, com x e y variando de – 4 a 4.Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = sem (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4.Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveisf(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4.Função de duas VariáveisT = f(P,D)TemperaturaT = cos (0,017D - 0,2P).e -0,2PProfundidade, pésDias
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